蒙古包结构的数学性考察

代 钦(内蒙古师范大学科学技术史研究院书记 教授 博导)

内容摘要：蒙古族传统建筑--蒙古包,其围墙高度与斜椽长度的比例、内部柱子高度与围墙地基直径的比例等符合黄金比例（即）结构。这是由人类的心理场论和人体结构的比例关系所决定的，是蒙古民族文化发展中自然形成的结果。

关键词：蒙古族；蒙古包；黄金比例

大约在一百万年以前，数学观念便与人类文化的起源同生共长，不断发展，与"语言、音乐体系和民法法典一样是人的一种行为，"①即文化行为。它不同程度地影响着每个人。不同的民族因其地理环境和历史过程的不同而具有不同的数学文化特征。蒙古族传统生活中的数学文化表现在其建筑艺术、服饰、绘画艺术、天文历法、哲学宗教等方面。在历史上，蒙古族没有建立独立系统的数学命题，但这并不能否认他们在自己的生活实践中广泛地应用数学知识，在历史的发展过程中他们创造数学知识的同时，也从汉、藏等其他民族吸收了不少数学知识，使之成为具有自己特色文化的有机组成部分的事实。下面就这一问题阐述自己的拙见。

一、人类完美的比例--黄金比例

黄金比例是一个有趣的比例数字，它与艺术和设计中使用的对称和不对称之间的平衡有关。如果"整体与较大部分之比等于较大部分与较小部分之比"，这两个数的比例就是黄金比例。欧几里得把它表达为：将一条线段分为不相等的两部分，使较长部分为原线段和较短部分的比例中项。长线段与短线段之比等于全线段与长线段之比，对于两部分和，原线段与线段的比等于和的比。

黄金比例的符号是；它约等于1.618，并被认为是一个循环数。

人们认为，数个世纪以来，许多建筑师和画家在他们的作品中使用了黄金比例。一些历史学家认为，基奥普斯的金字塔含有黄金比例。古希腊人从他们的几何著作中了解了黄金比例，但他们从未真正相信它会像这样的数字一样重要。在绘画和雕刻领域，文艺复兴时期的许多艺术作品被认为使用了黄金比例，尽管黄金比例只是下意识地被用到了他们的作品中。在1509年，卢卡·帕西奥里（Luca Pacioli）发表了作品《神圣的比例》（Divina Proportione），探讨了黄金比例的数学意义以及它在建筑设计中的应用。

当然，人类不是唯一"实践"黄金比例的主体。它在大自然和一些系统的动力结构中也都有体现。例如，向日葵种子的间距、海螺壳的形状等与黄金比例相关。

黄金比例从古希腊到今天总给人舒适、安全和美的感受。因而称其为黄金比例。它在蒙古族的建筑艺术、服饰、绘画艺术中有着重要意义。

二、蒙古包的黄金比例结构

（一）历史上的蒙古包结构

蒙古包是蒙古族的传统建筑，是蒙古民族智慧之结晶，也是蒙古文化的瑰宝之一。蒙古族在漫长的房屋建造的历史中创造了蒙古包，蒙古包也建造了蒙古族的历史文化。蒙古包虽然是极其简洁的建筑，但它蕴含着丰富的内涵，它也诉说着蒙古民族的文明发展史。法国著名人类学家热拉尔·托芬在《民族建筑学的交叉领域--从印度-喜马拉雅山地区的西欧》一文中指出："实际上，房屋使人一下子就能看到各种不同的文化显示自己特色、区别层次、表现它们的认同性和最隐蔽的思想方式的手段。它同样证明了十分多样的各种空间观念，我们应该将此同社会生活的其他领域联系起来。"②他又精辟地指出：""居住空间的组织不仅仅是一种技术的设施，它同样是语言，是整个人类行为的符号表述"。其中混合了社会的因素、思想的因素和物质的因素。"③从结构和制作技术上看，蒙古包极其简单，但是仔细探究的话我们能够看到蒙古族生活的自然环境、历史条件、不同地域、社会结构和文化习俗等诸多方面的要素。据文献记载，历史上曾出现过多种样式的蒙古包。就其大小而言，有4、6、8、10、12个哈那的蒙古包。甚至还曾经有过面积大约为486.8m2，能容纳1000余人的巨形蒙古包。据《黑鞑事略》记载"穹庐（蒙古包）有两样，燕京之制，用柳木为骨，正如高方罘 ，可以卷舒，前面开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，背以毡为衣，马上可载。草地之制，以柳木织成硬圈，径有毡挞定，不可卷舒，车上载行。"④还有一种是以车与蒙古包组合而成的大小各异的车包，大的车包套22头牛才能行走，⑤小的车包套一头牛即可。无论是哪一种蒙古包，在世人面前展示出了适合于黄金比例等严肃的数学美，使建筑符合人们的审美意识。我们惊奇地发现，蒙古包结构一般均遵循数学中的黄金比例，符合形状简单等数学美的基本要求。

关于13世纪以前的蒙古包结构的数量关系，至今一无所知。但是13～16世纪的的蒙古包结构的数量关系，古人留下了详细的记载。当时的蒙古包，一般"其哈那的长(高)度为180(a1)~198(a2)cm，椽子的长度为288(b1)~352(b1)cm、天窗的直径为212(c1)~238(c2) cm，柱子高度为4.8(d1)~5.2(d2)m,蒙古包底基的直径为8.18(e)。"⑥(如图2)以上a1与a2、b1与b2、c1与c2、d1与d2 平均值分别为：

a=(a1+a2)/2=(180+198)/2=189(cm)

b=(b1+b2)/2=(288+352)/2=320(cm)

c=(c1+c2)/2=(212+238)/2=225(cm)

d=(d1+d2)/2=(4.8+5.2)/2=5(cm)

据此，我们测算得：

哈那高与椽子长之比a1/b1=0.625、a2/b2=o.563、a/b=0.6;

柱高与底基直径之比d/e=5/8.18=0.6112。

至少距今600年以前蒙古人的房屋建筑的数量关系基本接近于黄金比，最大误差只有0.055、最小误差只有0.006。这就说明，当时蒙古人在日常生活中审美意识已经达到了很高的水平。这是令人激动的发现。

（二）近现代蒙古包的数学结构

蒙古包结构的比例关系，到近代或现代更追求数学的简单美、对称美和比例美。我们可用数学方法表示出其平面结构图（如图3）。表示方法如下：

平面直角坐标系中，原点。

1.以为圆心，天窗的半径为半径作⊙2，与y轴交于AB两点

2.作半径为的⊙与轴交于Ｃ点；

3.以为圆心，(有时亦有)为半径作⊙3，与轴交于、：

4.过、两点作轴的两条平行线，与⊙3交、，再连与、与，并延长，则过点且平行Ｘ轴的直线交于、；

5.作⊙1的平行于轴的两条切线，与⊙2交于与两点，连,可代替天窗之环；

6.再连，,则可代替椽子。⊙2的就是天窗之凸出球面部分；

7.以、为圆心，半径为的过⊙2点的两个半圆，与⊙交于四点；

8.连与，则与，分别相交于四点。连与，与，与，与，则矩形就是蒙古包的门。而自四点可拉上下两条腰带。

建造蒙古包，不仅具有严谨的数学上的要求，而且在结构的某些比例关系方面能够体现出雅致的数学美。经测算得出：

哈那高度/椽子长度＝天窗直径/椽子长度＝；

哈那斜高/椽子长度=；

⊙2的半径/⊙3的半径=。

把上面三个比值与黄金比0.618相比其误差更小。

三、蒙古包中蕴含黄金比例的原因

上面得出有趣的结论，既不是作者凭借自己的主观臆断从若干数据中选择出特殊的，毫不相干的数字进行测算而得出的，也不是历史的偶然巧合，而是蒙古族文化发展的必然结果。就上述建筑等艺术中的黄金比例结构而言，虽然蒙古族不是在遥远的古代已经掌握了数学的黄金比例知识，但在实践中自然而然地应用了这一规律。蒙古族建筑等方面的古老的"艺术所用的材料本身完全没有精神性，而是有重量的，只能按照重量规律来造型的物质；它的形式是一些外在自然的形体结构，有规律地和平衡对称地结合在一起，来形成精神的一种纯然外在的反映和一件艺术作品的整体。"⑦关于其客观原因，首先，格式塔心理学发现，知觉活动本身有一种压倒一切的简化倾向。它尽量将外部刺激简化，以组织成各种最简化的形式，如简单的圆等。知觉之所以有这种倾向，有多层次多方面的原因。从生物――物理层次上看，外部世界的物理力、化学力直至生物的生长力，都具有简化式样生成的倾向，而决定大脑活动的皮层中生理电场内部力同样具有这个倾向。从这个层次上来说，内外是对应同构的，从心理――物理层次上来看，外部世界的简化式样本身是稳定的，而在人类的长期实践活动中，这种简化式样总为它提供安全、舒适的感受，久而久之，简化的心理定式便生成了。⑧只要条件允许，知觉是化繁为简，在文化发展中起作用。其次，我们从人体结构来看，会领会其更深层的奥秘。德国美学家对人体进行了大量的测算，发现人的肚脐正好是人的垂直高度的黄金分割点。人的膝盖骨又是大腿和小腿的一个黄金分割点等等。正因这样，人们才对黄金比如醉如痴地追求。这也是因为，人类以自己为代表的比例形体见得最多、最为熟悉和亲切，这已经有千百年的漫长岁月了。所以凡是符合这一规律的事物，自然而然使人产生了舒适、优美感。从这个意义上来讲，数学美学思想对蒙古民族赋予了创造自己文化的灵感。

①［美］怀特.文化科学[M].曹锦清译.杭州：浙江人民出版社，1988:288.

② 陆象淦.死的世界－活的人心[M].北京：社会科学文献出版社，2006:240.

③ 陆象淦.死的世界－活的人心[M].北京：社会科学文献出版社，2006:241.

④《内蒙古大辞典》编委会.内蒙古大辞典[M].呼和浩特：内蒙古人民出版社，1991:921.

⑤［蒙］达·那旺著、莎仁.古代蒙古历史文物考[M].呼和浩特：内蒙古人民出版社，1992:134。

⑥［蒙］达·迈达尔、拉·达力苏荣.蒙古包[M].呼和浩特：内蒙古文化出版社，1987: 225～226.

⑦ [德]黑格尔.美学[M]第3卷（上册）.朱光潜译.北京：商务印书馆，1961：17.

⑧ 腾守尧.审美心理描述[M].北京：中国社会科学出版社，1985：341.